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Eletrostática e Fluxo e Introdução ao Potencial

Exercícios

No final da página encontram-se resoluções mais pormenorizadas dos exercícios feitos em aula

Eletrostática

Supomos que temos uma distribuição de cargas.

Carga de Prova

Para calcularmos o valor do campo em cada ponto do espaço precisamos de uma carga de prova.

Uma carga de prova é uma carga independente do campo e que pode ser escolhida pelo leitor.

As cargas que criam o campo são as fontes do campo.

A carga de prova sofre a força criada pelas cargas que se encontram na fonte do campo.

A posição das fontes (em função do tempo) é conhecida.

Princípio da Sobreposição

A interação entre duas cargas não é afetada pela presença das outras cargas.
A força exercida numa carga é igual à soma de todas as forças exercidas nela.

F⃗total=∑i=1nF⃗i\vec F_{total} = \sum\limits_{i =1}^{n} \vec F_i

Tanto as fontes como as cargas estão sempre em movimento e o campo depende da posição, da velocidade e aceleração de todas as cargas.
Além disso, o campo propaga-se à velocidade da luz (c=3×108 m/sc = 3 \times 10^8\ m/s)

Eletrostática

Nesta parte da matéria assumimos que todas as fontes estão estacionárias,
no entanto a carga de prova pode se encontrar em movimento.

Lei de Coulomb

Distância

A força F⃗\vec F na carga de prova QQ criada pela carga de fonte qq (em repouso) a uma distância Δr\Delta r é dada por

F⃗=14πϵ0 q Q∣r⃗−r⃗ ′∣2 e⃗r\vec F = \cfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\ \cfrac{q \ Q}{|\vec r - \vec r \ '|^2}\ \vec e_r

QQ e q\ q - Cargas - unidades SI - Coulomb (CC)
ϵ0\epsilon_0- permitividade elétrica do espaço livre - 8.85×10−12 C2 N−1 m−28.85 \times 10^{-12} \ C^2 \ N ^{-1} \ m^{-2}
e⃗r=(r⃗−r⃗ ′)∣r⃗−r⃗ ′∣\vec e_r = \cfrac{(\vec r - \vec r \ ')}{|\vec r -\vec r \ '|}

Sinal

Esta força só é atrativa se as cargas tiverem sinais diferentes.

Juntando a Lei de Coulomb e o Princípio da Sobreposição:

F⃗=Q4πϵ0 ∑i=1nqi∣r⃗−r⃗i′∣2 e⃗ri=QE⃗(r⃗)\vec F = \cfrac{Q}{4\pi \epsilon_0}\ \sum\limits_{i =1}^{n} \cfrac{q_i}{|\vec r - \vec r_i'|^2}\ \vec e_{r_i} = Q \vec E (\vec r)

Campo Elétrico

Assim o Campo Elétrico E⃗(r⃗)\vec E (\vec r) gerado pelas fontes é:

E⃗(r⃗)=14πϵ0 ∑i=1nqi∣r⃗−r⃗i′∣2 e⃗ri\vec E(\vec r) = \cfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\ \sum\limits_{i =1}^{n} \cfrac{q_i}{|\vec r - \vec r_i'|^2}\ \vec e_{r_i}

Propriedades do Campo Elétrico (Eletrostático)

  • O Campo elétrico E⃗(r⃗)\vec E (\vec r) é uma grandeza vetorial
  • Depende da posição da carga de prova QQ
  • Depende da posição e da carga das fontes
  • Fisicamente representa a força por unidade de carga que seria exercida na
    carga de prova QQ se fosse colocada num ponto PP

Distribuição

Fluxo

Fluxo1

O fluxo ϕE\phi_E do campo elétrico E⃗\vec E através de uma superfície SS é definido por:

ϕE≡∫SE⃗ dS⃗\phi_E \equiv \int_S \vec E\ d\vec S

Propriedades

  • O fluxo ϕE\phi_E do campo elétrico E⃗\vec E através de uma superfície SS "mede" o número de linhas de campo que cruzam a superfície.
  • Só consideramos a componente de E⃗\vec E segundo a direção perpendicular ao elemento de superfície de dSdS.
  • A intensidade do campo é proporcional à densidade das linhas de campo.
  • Se o fluxo atravessa uma superfície fechada de um lado ao outro o fluxo total é nulo. No entanto, se as linhas de campo atravessam a superfície na mesma direção (sempre para fora ou sempre para dentro) há um fluxo não nulo e isso só acontece quando há cargas dentro da superfície. Esta é a essência da Lei de Gauss.

Lei de Gauss

Imaginemos que temos uma carga qq na origem e uma esfera de raio RR centrada nela.

∮E⃗ dS⃗=q4πϵ0∮e⃗rr2 (r2sin⁡(θ) dθ dϕ e⃗r)=qϵ0 \oint \vec E \ d \vec S = \cfrac{q}{4\pi \epsilon_0} \oint \cfrac{\vec e_r}{r^2} \ (r^2 \sin(\theta)\ d\theta \ d \phi\ \vec e_r) = \cfrac{q}{\epsilon_0}

Podemos reparar que o fluxo total não depende do raio da esfera e é proporcional à carga.
Isto é verdade para todas as superfícies fechadas e não precisa de estar centrada na carga.

Se forem NN cargas qiq_i o Princípio da Sobreposição permite escrever E⃗= \vec E = ∑i=1N\sum\limits_{i=1}^{N} E⃗i\vec E_i e

∮E⃗ dS⃗=∑i=1N∮E⃗i dS⃗=Qincϵ0 \oint \vec E \ d \vec S = \sum\limits_{i=1}^{N} \oint \vec E_i \ d\vec S = \cfrac{Q_{inc}}{\epsilon_0}

onde Qinc=∑i=1NqiQ_{inc} = \sum\limits_{i=1}^{N} q_i é a carga contida na superfície.

Lei de Gauss (Equação Integral)

∮E⃗⋅dS⃗=Qincϵ0\oint \vec E \cdot d \vec S = \cfrac{Q_{inc}}{\epsilon_0}

A Lei de Gauss existe porque o campo varia como 1r2\cfrac{1}{r^2}

Para ρ\rho (densidade de carga)

Qinc=∫Vρ dVQ_{inc} = \int_V \rho \ dV
∮E⃗ dS⃗=Qincϵ0=∫V∇⃗⋅E⃗ dV=∫Vρϵ0 dV\oint \vec E \ d \vec S = \cfrac{Q_{inc}}{\epsilon_0} = \int_V \vec \nabla \cdot \vec E \ dV = \int_V \cfrac{\rho}{\epsilon_0} \ dV
∫V(∇⃗⋅E⃗−ρϵ0) dV=0\int_V (\vec \nabla \cdot \vec E - \cfrac{\rho}{\epsilon_0}) \ dV = 0

Esta equação é válida para qualquer volume VV.
Logo o integrando tem de ser sempre nulo.

Lei de Gauss (Equação Diferencial)

∇⃗⋅E⃗=ρϵ0\vec \nabla \cdot \vec E = \cfrac{\rho}{\epsilon_0}

Campo de uma Esfera Uniformemente Carregada

Para usar a Lei de Gauss devemos procurar usar para nossa vantagem a simetria do sistema.

Se tivermos uma superfície esférica de raio RR com uma densidade superficial de carga σ\sigma uniforme,
como será o campo no exterior da esfera?

Esfera

Imaginemos que o campo aponta para fora e para cima, se rodarmos a nossa esfera e a colocarmos de cabeça para baixo, agora esta aponta para fora e para baixo, no entanto, o campo manteve-se igual, podemos concluir assim que podemos rodar a bola como quisermos e todas essas rotações são possíveis e todas as direções em que esta aponta são válidas. Concluímos assim que o Campo criado por esta esfera é radial , segundo e⃗r\vec e_r

Que forma de Lei de Gauss devemos usar para calcular o campo?

Através da Lei de Gauss na versão integral.

example

Consideremos uma superfície esférica SS de raio r>Rr > R centrada na esfera carregada.
Uma superfície desse tipo designa-se por superfície gaussiana.
Para essa superfície em cada ponto o vector unitário normal à superfície é n⃗=e⃗r\vec n = \vec e_r

Assim

∮SE⃗⋅dS⃗=∫S∣E⃗∣ dS \oint_S \vec E \cdot d \vec S = \int_S |\vec E| \ dS

Como o campo E⃗\vec E tem a mesma intensidade em todos os pontos da superfície SS devido à simetria do sistema.

∫S∣E⃗∣ dS=∣E⃗∣4πr2\int_S |\vec E| \ dS = |\vec E| 4 \pi r^2

Assim pela Lei de Gauss

∣E⃗∣4πr2=Qincϵ0  ⟹  ∣E⃗∣=Qinc4πr2ϵ0  ⟹  E⃗=Qinc4πϵ0e⃗rr2 |\vec E| 4 \pi r^2 = \cfrac{Q_{inc}}{\epsilon_0} \implies |\vec E| = \cfrac{Q_{inc}}{4 \pi r^2 \epsilon_0} \implies \vec E = \cfrac{Q_{inc}}{4 \pi \epsilon_0} \cfrac{\vec e_r}{r^2}

O campo fora da esfera é igual ao de uma carga pontual igual à da esfera centrada na origem.

Além das superfícies esféricas, as superfícies cilíndricas e superfícies planas apresentam simetrias.

types

Pormenores

A lei de Gauss é sempre verdade, mas nem sempre é útil. Se a densidade não fosse uniforme, ou se a superfície gaussiana não fosse uma esfera centrada na distribuição de carga, ou simplesmente se a superfície gaussiana não fosse uma esfera, a Lei de Gauss continuaria a ser verdadeira, mas isso não permitiria calcular o campo E⃗\vec E porque não poderíamos puxar ∣E⃗∣|\vec E| para fora do integral!

A simetria é essencial para uma aplicação com sucesso da Lei de Gauss.

Para Cilindros este processo é semelhante (a sua explicação será omitida, poderão encontrar a explicação nos slides no final deste resumo)

O campo criado por um cilindro é radial perpendicularmente ao eixo do cilindro.

E provamos que

E⃗=kr23ϵ0e⃗p\vec E = \cfrac{k r^2}{3\epsilon_0}\vec e_p

Rotacional do Campo Eletrostático

O rotacional do campo eletrostático E⃗\vec E deve ser zero.

Pelo que ficou dito sobre o potencial escalar, podemos concluir que no caminho de A→BA \rightarrow B

∮E⃗⋅dl⃗=0\oint \vec E \cdot d \vec l = 0
∫ABE⃗⋅dl⃗=V(B)−V(A)\int_A^B \vec E \cdot d \vec l = V(B) -V(A)
∇⃗×E⃗=0  ⟹  δEiδxj=δEjδxi\vec \nabla \times \vec E = 0 \implies \cfrac{\delta E_i}{\delta x_j} = \cfrac{\delta E_j}{\delta x_i}

Onde VV é uma função escalar

Slides: